Xuyên Vào Sách Toán Học Phải Làm Sao Đây?
Chương 19
*Chương này có nội dung ảnh, nếu bạn không thấy nội dung chương, vui lòng bật chế độ hiện hình ảnh của trình duyệt để đọc.
Câu đố đưa 4 người và 4 quỷ qua sông tưởng chừng như nan giải này lại xuất hiện một cái ‘bug’ – Đồ Hoá.
Dựa theo quy tắc mà những người da đen nói, nếu số lượng ‘quỷ’ ở hai bên nhiều hơn số người chơi thì bọn họ sẽ bị ‘quỷ’ gi3t chết. Nhưng, Đồ Hoá là ngoại lệ. Cậu có đá ma thuật, là vị hôn phu của con gái tù trưởng được bộ lạc công nhận. Thân phận này là kim bài miễn tử của cậu.
Đồ Hoá không nghĩ rằng viên đá xấu xí và nát vụn này lại dễ thương đến như vậy. Cậu ném viên đá quay lại, bước đến nói với người da đen bên cạnh: “Nếu tôi chết thì có phải cô con gái đáng thương của tộc trưởng sẽ không có chồng à?”
Người đàn ông da đen nghiến răng và nói: “… Ừ.”
Đồ Hoá cười: “Vậy các ông có giết tôi không?”
Người áo đen tiếp tục nghiến răng: “… Không.”
Đồ Hoá hài lòng gật đầu: “Được. Vậy bây giờ sắp xếp qua hẻm vực thôi.”
Theo kế hoạch của bọn họ, chỉ cần đi qua đi lại tám vòng là có thể hoàn thành nhiệm vụ. Đầu tiên, Đồ Hoá và một người đàn ông da đen đi qua hẻm núi. Đồ Hoá bước lên ngồi trước cho vững. Cái sọt tuy mỏng manh nhưng sức chịu tải rất mạnh, thêm người đàn ông da đen đi tới ngồi xuống cùng cậu nhưng nó cũng không có vẻ gì là lung lay.
Người da đen cầm lái. Chiếc thúng trượt nhanh vào màn sương mù.
Sau khoảng một, hai phút, sương mù dày đặc dần tan đi. Cảnh tượng trước mắt Đồ Hoá hoàn toàn khác với sa mạc ở phía bên kia. Khắp nơi đều là rừng rậm tươi tốt, không khí tràn ngập mùi cỏ xanh ướt. Nơi đây cây cối sinh sôi, thỉnh thoảng có chim và sóc đi qua.
Đến bên này, Đồ Hoá để người da đen lên và tự mình lái chiếc thúng trở về. Lúc này, bên kia sa mạc có ba người đàn ông da đen và ba người chơi, bên kia rừng nhiệt đới có một người đàn ông da đen, Đồ Hoá thì đang lái thúng.
Sau khi quay lại, Đồ Hoá dẫn một người đàn ông da đen khác sang bên kia. Sau đó, cậu bước lên rừng nhiệt đới và để một người da đen quay lại sa mạc. Điều này có nghĩa là sau khi người da đen kia cập bến, câu đố 4 người – 4 quỷ lại trở thành 3 người – 3 quỷ với 3 người chơi và 3 người da đen bên sa mạc, và 1 người chơi với 1 người da đen bên rừng rậm nhiệt đới.
Đến vòng thứ ba, Đường Bác và một người da đen lên thúng. Lúc này, trên bờ sa mạc chỉ còn lại 2 người da đen và 2 người chơi, nghĩa là nhân số bằng nhau. Sau khi đến bờ rừng nhiệt đới, người đàn ông da đen bước lên, Đường Bác lái thúng trở về. Sau khi Đường Bác quay lại, còn 2 người da đen và 3 người chơi trên bờ sa mạc, và 2 người da đen với 1 người chơi là Đồ Hoá trên bờ rừng nhiệt đới.
Mặc dù số người da đen bên Đồ Hoá nhiều hơn số người khiêu chiến, nhưng bọn họ không giết cậu được vì cậu có trong tay viên đá ma thuật.
Vòng thứ tư. Lần này, trong thúng có 2 người da đen, nghĩa là ở phía sa mạc chỉ còn lại Đường Bác, Tôn Duy, và Vương Bác Vũ. Sau khi đến bờ bên kia, một người da đen lên bờ và người kia lái thúng quay về. Lúc này, có 1 người da đen và 3 người chơi bên sa mạc, và 3 người da đen với Đồ Hoá trên bờ rừng nhiệt đới. Đồ Hoá vẫn an toàn.
Vòng thứ năm. Tôn Duy và Vương Bác Vũ lên thúng, bên sa mạc chỉ còn Đường Bác và 1 người da đen. Sau khi lên bờ, Tôn Duy đổi chỗ cho một người da đen, nghĩa là là Tôn Duy lên bờ, người da đen và Vương Bác Vũ cùng nhau quay lại. Lúc này, bên sa mạc có 1 người da đen và Đường Bác, trong thúng có Vương Bác Vũ và 1 người da đen, còn phía rừng nhiệt đới có 2 người da đen và Đồ Hoá với Tôn Duy. Số lượng vẫn bằng nhau.
Vòng thứ sáu. Người da đen bước lên, Vương Bác Vũ và Đường Bác bước vào thúng. Lúc này, có 2 người da đen trên sa mạc, 2 người chơi trong thúng, và 2 người da đen với 2 người chơi ở phía bờ đối diện. Sau khi đến rừng, Đường Bác và Vương Bác Vũ lên bờ và để một người đàn ông da đen trở về.
Nói cách khác, lúc này, bốn người chơi đã đến bờ rừng nhiệt đới một cách an toàn. Có 1 người da đen ở bờ rừng nhiệt đới và 3 người da đen ở bờ bên kia.
Hai vòng tiếp theo là chuyện của 3 người da đen. Bọn họ chỉ cần đi thêm hai vòng nữa là có thể qua được hẻm vực.
Đến đây, bài toán đưa 4 người và 4 quỷ qua sông đã hoàn thành.
Tôn Duy nhìn sâu vào khu rừng nhiệt đới và chìm trong suy nghĩ. Đồ Hoá nói gì đó với cô nhưng hình như cô không nghe thấy. Một lúc sau, Tôn Duy hỏi người đàn ông da đen dẫn đầu: “Chúng ta đi về hướng đông bắc à?”
Vẻ mặt người da đen trở nên phức tạp. Gã đáp: “Ừ.”
Gương mặt Tôn Duy sáng lên ngay lập tức. Cô quay lại nhìn ba người đồng đội, kích động nói: “Tôi biết hàm số nào rồi!”
“Mọi người còn nhớ gợi ý của máy tính bỏ túi không?” Tôn Duy giải thích: “‘Xuyên qua sa mạc và địa cực, hàm số ở tại rừng nhiệt đới. Phía bắc nóng bức, phía đông ẩm ướt’. Chúng ta đã đi qua sa mạc, địa cực, và rừng nhiệt đới. ‘Hàm số ở tại rừng nhiệt đới’ có nghĩa là… Hàm số mà chúng ta đang tìm kiếm nằm trong khu rừng nhiệt đới hiện tại chúng ta đang đứng.”
“Điều tiếp theo là câu ‘phía bắc nóng bức, phía đông ẩm ướt’. Câu này đã cho tôi cơ sở để đoán đồ thị hàm số.”
Đường Bác nói: “Lúc đầu chúng ta ở vùng cực lạnh. Sau khi quyết định đi về phía bắc thì đến sa mạc rất nóng.”
Tôn Duy: “Ừ. Đó là ‘phía bắc nóng bức’.”
Vương Bác Vũ nói: “Sau đó, chúng ta gặp bốn người da đen này và đi theo họ về phía đông đến khu rừng nhiệt đới nhiều mưa này.”
Tôn Duy tiếp tục: “Ừ. Đây là ‘phía đông ẩm ướt’.”
Vương Bác Vũ gãi đầu: “Nhưng chúng ta có thể rút ra kết luận gì từ việc này?”
“Hệ tọa độ Descartes.” Đồ Hoá lập tức hiểu ý của Tôn Duy. Cậu ngồi xổm trên mặt đất và dùng cành cây vẽ một hệ tọa độ Descartes rồi chỉ vào: “[Phía bắc nóng bức, phía đông ẩm ướt] thật ra đang nói với chúng ta nhiệt độ với độ ẩm lần lượt là trục tung y và trục hoành x trong hệ tọa độ.” (Chú thích ở chương 09)
Góc phần tư trong hệ toạ độ Descartes
Ngón tay của Đồ Hoá trượt từ góc phần tư thứ ba của hệ tọa độ sang góc phần tư thứ hai: “Chúng ta đi bộ từ cực đến sa mạc, và nhiệt độ tăng lên là vì chúng ta đang di chuyển dọc theo trục y hướng về phía bắc. Khi đi về phía đông đến rừng nhiệt đới hiện tại, chúng ta đang di chuyển dọc theo trục x hướng về phía đông.
Ở góc phần tư thứ nhất, Đồ Hoá viết ‘nóng ẩm’, góc phần tư thứ hai là ‘nóng khô’, góc phần tư thứ 3 là ‘lạnh khô’, và góc phần tư thứ tư là ‘lạnh ẩm’. Cậu nói tiếp: “Điều này có nghĩa là nơi chúng ta đi qua là một hệ tọa độ Descartes khổng lồ được chia theo nhiệt độ và độ ẩm.”
“Chúng ta chỉ đi qua 3 góc phần tư, không đi qua góc phần tư thứ tư. Nếu tôi đoán không sai thì ở góc phần tư thứ tư là một thế giới bị băng tuyết bao phủ.”
Tôn Duy gật đầu đồng ý với lời giải thích của Đồ Hoá: “Giờ nói đến đồ thị hàm số.”
“Tôi đoán đồ thị của hàm số là lộ trình của người da đen.” Tôn Duy nhặt một nhánh cây và vẽ một đường cung ở góc phần tư thứ hai của hệ tọa độ. Cô giải thích: “Trước hết, tôi đã quan sát lộ trình của người da đen trong sa mạc. Bọn họ đến từ phía tây, chính xác hơn là đến từ phía tây bắc.”
“Lúc đầu, dấu chân của bọn họ cách con sông chúng ta đi ngang qua vô cùng gần, sau đó càng ngày càng di chuyển về phía bắc. Áp vào hệ toạ độ cho thấy đường đi càng lúc càng hướng lên trên. Tuy nhiên, bọn họ đi rất chậm nên không được rõ ràng lắm.” Tôn Duy nói tiếp: “Về mặt toán học, hàm số có đồ thị là lộ trình di chuyển của chúng ta có xu hướng đi lên khá chậm.”
“Sau đó, chúng ta đến góc phần tư thứ nhất.” Tôn Duy vẽ một đường cung khác ở góc phần tư thứ nhất bằng nhánh cây và nối với đường cung ở góc phần tư thứ hai. Cô nói: “Tôi mới hỏi người kia liệu con đường này có phải hướng đông bắc không thì anh ta nói phải. Như vậy, đây là đồ thị của hàm số năm trong góc phần tư thứ nhất.”
Một đồ thị hàm số đầy đủ được hình thành. Hàm số này có tập xác định R và chỉ đi qua góc phần tư thứ nhất với góc phần tư thứ hai. Tập giá trị của hàm số này là mọi số thực lớn hơn 0. Hàm số này tăng chậm ở gốc phần tư thứ hai, nhưng tăng mạnh ở góc phần tư thứ nhất.
Vương Bác Vũ nhìn chằm chằm vào đồ thị với đôi mắt tròn xoe: “Đây là… Hàm số mũ!”
Hàm số mũ là hàm số có dạng y = ax với cơ số a > 0 và a ≠ 1. Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành (y = ax > 0 ∀ x) và luôn cắt trục tung tại điểm (0;1) và đi qua điểm (1;a). Trục Ox là tiệm cận ngang của đồ thị.
Câu đố đưa 4 người và 4 quỷ qua sông tưởng chừng như nan giải này lại xuất hiện một cái ‘bug’ – Đồ Hoá.
Dựa theo quy tắc mà những người da đen nói, nếu số lượng ‘quỷ’ ở hai bên nhiều hơn số người chơi thì bọn họ sẽ bị ‘quỷ’ gi3t chết. Nhưng, Đồ Hoá là ngoại lệ. Cậu có đá ma thuật, là vị hôn phu của con gái tù trưởng được bộ lạc công nhận. Thân phận này là kim bài miễn tử của cậu.
Đồ Hoá không nghĩ rằng viên đá xấu xí và nát vụn này lại dễ thương đến như vậy. Cậu ném viên đá quay lại, bước đến nói với người da đen bên cạnh: “Nếu tôi chết thì có phải cô con gái đáng thương của tộc trưởng sẽ không có chồng à?”
Người đàn ông da đen nghiến răng và nói: “… Ừ.”
Đồ Hoá cười: “Vậy các ông có giết tôi không?”
Người áo đen tiếp tục nghiến răng: “… Không.”
Đồ Hoá hài lòng gật đầu: “Được. Vậy bây giờ sắp xếp qua hẻm vực thôi.”
Theo kế hoạch của bọn họ, chỉ cần đi qua đi lại tám vòng là có thể hoàn thành nhiệm vụ. Đầu tiên, Đồ Hoá và một người đàn ông da đen đi qua hẻm núi. Đồ Hoá bước lên ngồi trước cho vững. Cái sọt tuy mỏng manh nhưng sức chịu tải rất mạnh, thêm người đàn ông da đen đi tới ngồi xuống cùng cậu nhưng nó cũng không có vẻ gì là lung lay.
Người da đen cầm lái. Chiếc thúng trượt nhanh vào màn sương mù.
Sau khoảng một, hai phút, sương mù dày đặc dần tan đi. Cảnh tượng trước mắt Đồ Hoá hoàn toàn khác với sa mạc ở phía bên kia. Khắp nơi đều là rừng rậm tươi tốt, không khí tràn ngập mùi cỏ xanh ướt. Nơi đây cây cối sinh sôi, thỉnh thoảng có chim và sóc đi qua.
Đến bên này, Đồ Hoá để người da đen lên và tự mình lái chiếc thúng trở về. Lúc này, bên kia sa mạc có ba người đàn ông da đen và ba người chơi, bên kia rừng nhiệt đới có một người đàn ông da đen, Đồ Hoá thì đang lái thúng.
Sau khi quay lại, Đồ Hoá dẫn một người đàn ông da đen khác sang bên kia. Sau đó, cậu bước lên rừng nhiệt đới và để một người da đen quay lại sa mạc. Điều này có nghĩa là sau khi người da đen kia cập bến, câu đố 4 người – 4 quỷ lại trở thành 3 người – 3 quỷ với 3 người chơi và 3 người da đen bên sa mạc, và 1 người chơi với 1 người da đen bên rừng rậm nhiệt đới.
Đến vòng thứ ba, Đường Bác và một người da đen lên thúng. Lúc này, trên bờ sa mạc chỉ còn lại 2 người da đen và 2 người chơi, nghĩa là nhân số bằng nhau. Sau khi đến bờ rừng nhiệt đới, người đàn ông da đen bước lên, Đường Bác lái thúng trở về. Sau khi Đường Bác quay lại, còn 2 người da đen và 3 người chơi trên bờ sa mạc, và 2 người da đen với 1 người chơi là Đồ Hoá trên bờ rừng nhiệt đới.
Mặc dù số người da đen bên Đồ Hoá nhiều hơn số người khiêu chiến, nhưng bọn họ không giết cậu được vì cậu có trong tay viên đá ma thuật.
Vòng thứ tư. Lần này, trong thúng có 2 người da đen, nghĩa là ở phía sa mạc chỉ còn lại Đường Bác, Tôn Duy, và Vương Bác Vũ. Sau khi đến bờ bên kia, một người da đen lên bờ và người kia lái thúng quay về. Lúc này, có 1 người da đen và 3 người chơi bên sa mạc, và 3 người da đen với Đồ Hoá trên bờ rừng nhiệt đới. Đồ Hoá vẫn an toàn.
Vòng thứ năm. Tôn Duy và Vương Bác Vũ lên thúng, bên sa mạc chỉ còn Đường Bác và 1 người da đen. Sau khi lên bờ, Tôn Duy đổi chỗ cho một người da đen, nghĩa là là Tôn Duy lên bờ, người da đen và Vương Bác Vũ cùng nhau quay lại. Lúc này, bên sa mạc có 1 người da đen và Đường Bác, trong thúng có Vương Bác Vũ và 1 người da đen, còn phía rừng nhiệt đới có 2 người da đen và Đồ Hoá với Tôn Duy. Số lượng vẫn bằng nhau.
Vòng thứ sáu. Người da đen bước lên, Vương Bác Vũ và Đường Bác bước vào thúng. Lúc này, có 2 người da đen trên sa mạc, 2 người chơi trong thúng, và 2 người da đen với 2 người chơi ở phía bờ đối diện. Sau khi đến rừng, Đường Bác và Vương Bác Vũ lên bờ và để một người đàn ông da đen trở về.
Nói cách khác, lúc này, bốn người chơi đã đến bờ rừng nhiệt đới một cách an toàn. Có 1 người da đen ở bờ rừng nhiệt đới và 3 người da đen ở bờ bên kia.
Hai vòng tiếp theo là chuyện của 3 người da đen. Bọn họ chỉ cần đi thêm hai vòng nữa là có thể qua được hẻm vực.
Đến đây, bài toán đưa 4 người và 4 quỷ
Tôn Duy nhìn sâu vào khu rừng nhiệt đới và chìm trong suy nghĩ. Đồ Hoá nói gì đó với cô nhưng hình như cô không nghe thấy. Một lúc sau, Tôn Duy hỏi người đàn ông da đen dẫn đầu: “Chúng ta đi về hướng đông bắc à?”
Vẻ mặt người da đen trở nên phức tạp. Gã đáp: “Ừ.”
Gương mặt Tôn Duy sáng lên ngay lập tức. Cô quay lại nhìn ba người đồng đội, kích động nói: “Tôi biết hàm số nào rồi!”
“Mọi người còn nhớ gợi ý của máy tính bỏ túi không?” Tôn Duy giải thích: “‘Xuyên qua sa mạc và địa cực, hàm số ở tại rừng nhiệt đới. Phía bắc nóng bức, phía đông ẩm ướt’. Chúng ta đã đi qua sa mạc, địa cực, và rừng nhiệt đới. ‘Hàm số ở tại rừng nhiệt đới’ có nghĩa là… Hàm số mà chúng ta đang tìm kiếm nằm trong khu rừng nhiệt đới hiện tại chúng ta đang đứng.”
“Điều tiếp theo là câu ‘phía bắc nóng bức, phía đông ẩm ướt’. Câu này đã cho tôi cơ sở để đoán đồ thị hàm số.”
Đường Bác nói: “Lúc đầu chúng ta ở vùng cực lạnh. Sau khi quyết định đi về phía bắc thì đến sa mạc rất nóng.”
Tôn Duy: “Ừ. Đó là ‘phía bắc nóng bức’.”
Vương Bác Vũ nói: “Sau đó, chúng ta gặp bốn người da đen này và đi theo họ về phía đông đến khu rừng nhiệt đới nhiều mưa này.”
Tôn Duy tiếp tục: “Ừ. Đây là ‘phía đông ẩm ướt’.”
Vương Bác Vũ gãi đầu: “Nhưng chúng ta có thể rút ra kết luận gì từ việc này?”
“Hệ tọa độ Descartes.” Đồ Hoá lập tức hiểu ý của Tôn Duy. Cậu ngồi xổm trên mặt đất và dùng cành cây vẽ một hệ tọa độ Descartes rồi chỉ vào: “[Phía bắc nóng bức, phía đông ẩm ướt] thật ra đang nói với chúng ta nhiệt độ với độ ẩm lần lượt là trục tung y và trục hoành x trong hệ tọa độ.” (Chú thích ở chương 09)
Góc phần tư trong hệ toạ độ Descartes
Ngón tay của Đồ Hoá trượt từ góc phần tư thứ ba của hệ tọa độ sang góc phần tư thứ hai: “Chúng ta đi bộ từ cực đến sa mạc, và nhiệt độ tăng lên là vì chúng ta đang di chuyển dọc theo trục y hướng về phía bắc. Khi đi về phía đông đến rừng nhiệt đới hiện tại, chúng ta đang di chuyển dọc theo trục x hướng về phía đông.
Ở góc phần tư thứ nhất, Đồ Hoá viết ‘nóng ẩm’, góc phần tư thứ hai là ‘nóng khô’, góc phần tư thứ 3 là ‘lạnh khô’, và góc phần tư thứ tư là ‘lạnh ẩm’. Cậu nói tiếp: “Điều này có nghĩa là nơi chúng ta đi qua là một hệ tọa độ Descartes khổng lồ được chia theo nhiệt độ và độ ẩm.”
“Chúng ta chỉ đi qua 3 góc phần tư, không đi qua góc phần tư thứ tư. Nếu tôi đoán không sai thì ở góc phần tư thứ tư là một thế giới bị băng tuyết bao phủ.”
Tôn Duy gật đầu đồng ý với lời giải thích của Đồ Hoá: “Giờ nói đến đồ thị hàm số.”
“Tôi đoán đồ thị của hàm số là lộ trình của người da đen.” Tôn Duy nhặt một nhánh cây và vẽ một đường cung ở góc phần tư thứ hai của hệ tọa độ. Cô giải thích: “Trước hết, tôi đã quan sát lộ trình của người da đen trong sa mạc. Bọn họ đến từ phía tây, chính xác hơn là đến từ phía tây bắc.”
“Lúc đầu, dấu chân của bọn họ cách con sông chúng ta đi ngang qua vô cùng gần, sau đó càng ngày càng di chuyển về phía bắc. Áp vào hệ toạ độ cho thấy đường đi càng lúc càng hướng lên trên. Tuy nhiên, bọn họ đi rất chậm nên không được rõ ràng lắm.” Tôn Duy nói tiếp: “Về mặt toán học, hàm số có đồ thị là lộ trình di chuyển của chúng ta có xu hướng đi lên khá chậm.”
“Sau đó, chúng ta đến góc phần tư thứ nhất.” Tôn Duy vẽ một đường cung khác ở góc phần tư thứ nhất bằng nhánh cây và nối với đường cung ở góc phần tư thứ hai. Cô nói: “Tôi mới hỏi người kia liệu con đường này có phải hướng đông bắc không thì anh ta nói phải. Như vậy, đây là đồ thị của hàm số năm trong góc phần tư thứ nhất.”
Một đồ thị hàm số đầy đủ được hình thành. Hàm số này có tập xác định R và chỉ đi qua góc phần tư thứ nhất với góc phần tư thứ hai. Tập giá trị của hàm số này là mọi số thực lớn hơn 0. Hàm số này tăng chậm ở gốc phần tư thứ hai, nhưng tăng mạnh ở góc phần tư thứ nhất.
Vương Bác Vũ nhìn chằm chằm vào đồ thị với đôi mắt tròn xoe: “Đây là… Hàm số mũ!”
Hàm số mũ là hàm số có dạng y = ax với cơ số a > 0 và a ≠ 1. Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành (y = ax > 0 ∀ x) và luôn cắt trục tung tại điểm (0;1) và đi qua điểm (1;a). Trục Ox là tiệm cận ngang của đồ thị.